Сечение формула: Формула расчета сечения кабеля по мощности и длине

Содержание

в чем измеряется, формула площади измерения

Во время строительства зданий, сооружений наступает момент, когда нужно проложить электропроводку. Возникает вопрос, какой нужно выбрать провод, какое у него должно быть поперечное сечение и в чём измеряется площадь поперечного сечения. Эти и многие другие вопросы освещены в данной статье.

Что значит поперечное сечение

Перед тем как раскрыть основное понятие, нужно расшифровать значение термина и понять, чем провод отличается от кабеля. Провод является проводником, который используется, чтобы соединить несколько участков электрической цепи. Может иметь одну или много токовых проводящих жильных элементов. Они в свою очередь могут быть голыми, изолированными, одножильными и многожильными.

Площадь среза проводника

Первые используются в воздушных линиях электрических передач. Вторые применяются в электрических устройствах, щитках или шкафах. В быту они находятся внутри электрической проводки.

К сведению! Изолированные и одножильные проводники используются везде, а многожильные применяются там, где нужны изгибы с малым радиусом.

Что собой представляет поперечное сечение

Поперечным сечением называется фигура, которая образуется от проводникового рассечения плоскостью направления. Площадь, которая получена при перпендикулярном разрезе любого вида провода, указывается в квадратных миллиметрах. Это важный параметр для расчета электрической сети.

Сфера применения

Поперечное сечение на чертеже изображено в виде фигуры, которая образована делением детали плоскостью. Используется в электротехнике, электричестве, когда рассматривается проводниковая жила под прямым углом к его продольной половине. Через поделенную жилу проходят электроны.

Обратите внимание! Диаметр жилы — это не сечение. Для определения площади жилы нужно использовать специальную формулу определения круга.

Зная, какая величина разреза провода, длина и удельное сопротивление, можно узнать, какое имеет сопротивление проводник электротоку, проходящий сквозь его структуру. Если неправильно подобрать разрез проводника, это может привести к возгоранию электрической проводки в системе в результате его перегрева, оплавления.

Строительство — основная сфера применения проводов

Целью расчета площади поперечного сечения может быть получение нужного количества электроэнергии для нормальной работы электрических приборов, исключение переплат неиспользуемым энергоносителем, подключение мощной техники к сетевому напряжению, предотвращение возгорания участка, исключение оплавки слоя изоляции, предотвращение появления короткого замыкания в бытовой и промышленной сетях. Также это может быть получение правильной организации системы освещения.

К сведению! Нормальным сечением проводника для освещения является показатель 1,5 мм² для линии и 4-6 мм² для ввода.

Чем можно делать расчеты поперечного сечения

Иногда приходится измерять поперечное сечение самостоятельно, поскольку на провод не нанесена маркировка. Это не повод, чтобы не использовать его. Сперва нужно выяснить, из какого материала была сделана жила. Есть белая алюминиевая, медная красная и латунная желтая. После этого необходимо рассчитать площадь. Для этого следует выяснить проводниковый диаметр, убрав изоляцию. Диаметр можно измерить, используя:

  • штангенциркуль, микрометр;
  • карандаш и линейку.

Важно! Во втором случае результат будет приблизительным. Его использовать следует в крайних случаях. Лучше рассчитывать диаметр по формуле и штангенциркулем.

Штангенциркуль

Сделать штангенциркулем можно замер провода, который имеет любые размеры. Для этого нужно поместить его между штангенциркульными щипцами. Сделать так, чтобы они смотрены на деление шкалы. Затем подсчитать значение.

Штангенциркуль

Целые числа можно получить по верхней шкале, а десятичные — по нижней.

Карандаш + линейка

Если штангенциркуля нет, а длина оголенного проводника позволяет сделать его накрутку на карандаш длиной не меньше 1 см, можно использовать данный способ. Все, что нужно – подсчитать витки, которые поместились на отрезке длины 1 см. Диаметр получается делением длины отрезка на витки.

С помощью карандаша и линейки замеры будут не совсем точными

Обратите внимание! Точность измерения будет зависеть от того, как плотно была сделана намотка, и какая у нее длина.

В чем измеряется поперечное сечение

После определения диаметра указанными способами площадь сечения можно определить по формуле или специальной таблице. Измеряется она в квадратных миллиметрах. Данная единица измерения производная согласно единой международной системе измерений.

Мера измерения

При этом разрез жил всегда круглый.

Формула измерения площади поперечного сечения

Рассчитать поперечное сечение, а именно площадь можно через формулу круга S = π * R2, где первым звеном является площадь круга, вторым — константа Пи 3,14, а третьим — радиус. Принимая во внимание тот факт, что радиус является одной второй диаметра, то формула может быть преобразована по желанию. Рассчитывая площадь, следует использовать диаметр.

Обратите внимание! Чтобы определить сечение многожильного провода, нужно вычислить площадь одной жилы, а затем полученное значение перемножить на количество проводниковых жил.

Определяя диаметр проводника комнатной электропроводки, нужно взять во внимание показатель одновременной максимальной потребительской нагрузки. Принимая в расчет показатель мощности, берется сечение линий, идущих от центра счетчика и вводных автоматов к распределительной коробке. Это места с суммарной нагрузкой всех подсоединенных потребителей. Делать выбор лучше в пользу медного провода с жилами не меньше 6 мм².

Формула для расчета

Поперечным сечением называется площадь среза под углом 90° к оси. Рассчитывать его на проводнике можно штангенциркулем, карандашом, линейкой. Измеряется оно в квадратных миллиметрах. Подсчитывается по специальной формуле, представленной выше. Ничего сложного в этом нет, главное — выбрать самый точный вариант.

Как выбрать сечение силового кабеля?


При выборе кабеля надо смотреть на площадь сечения, поскольку от этого параметра зависит сила тока, проходимого через кабель. Прокладка неподходящего кабеля опасна — это может привести к перегреву и возгоранию. В такой ситуации может некорректно произойти работа элементов автоматический защиты, так как она настроена на размер сечения по ГОСТ (или соответствующего ТУ). 

При большем диаметре сечения возможны сложности при выполнении монтажных работ. Заплатить за такой кабель придется больше, чем за подходящий по диаметру. 

Определить площадь сечения

Для определения площади поперечного сечения существует формула:

S = (П * D²)/4

П — 3,14

D — диаметр.

Правила Устройства Электроустановок (ПУЭ) — основной нормативный документ, в котором прописано, как рассчитывать площадь исходя из материала токопроводящей жилы.

 

Медная токопроводящая жила

Для домашнего пользования оптимальная площадь сечения 2,5 мм2 (для силовых групп) или 1,5 мм2 (для осветительных). Для техники с большой мощностью, такой как электрические плиты, необходима большая площадь сечения — 4-6 мм2. Этого вполне достаточно для бытовых нужд, плюс останется запас, на случай увеличения нагрузки.

Алюминиевая токопроводящая жила

Алюминий хуже переносит длительные нагрузки током, чем аналогичные по сечению медные жилы. Например, при сечении 2,5 мм2 медь выдержит максимум 5,9 кВт, в то время как алюминий только 4,4 кВт.

Алюминий — более активный элемент, чем медь. Со временем он имеет свойство окисляться. При этом его жила истончается. 

Поэтому алюминиевую жилу нужно подбирать с определенным «заделом» на будущее.

Для точных расчётов, дополнительно к металлу жилы и мощности нагрузки смотрят ещё и на способ прокладки кабеля, его длину, материал, используемый для изоляции, число токопроводящих жил и многие другие основополагающие факторы. 



 

Формула «золотого сечения»: ru_royalty — LiveJournal

Издание the Daily Mail решило в воскресенье развлечь своих читателей исследованием доктора Джулиана Де Сильва. Доктор Де Сильва руководит Центром современной косметической и пластической хирургии лица в Лондоне, он провел анализ золотого сечения на некоторых самых известных королевских женщинах.Золотое сечение было изобретено в Древней Греции для определения «физического совершенства» путем сравнения измерений, пропорций и симметрии черт лица. Каков его вывод?

Эта математическая формула была использована Леонардо да Винчи для идеального мужского тела человека в его знаменитой работе «Витрувианский человек» и с тех пор была адаптирована учеными для определения идеальной красоты.Доктор Де Сильва разработал компьютеризированную
программу по технике отображения лица и использует эту технологию в своей работе.
Он определил, что принцесса Диана является наиболее привлекательная, затем следует королева Иордании Рания и покойная Грейс Келли Монако. Меган и Кейт заняли четвертое и пятое места соответственно.

форма лица Дианы, ширина носа, область бровей, лоб и брови — все это получило высшие оценки. Самые низкие оценки она получила за подбородок и губы. Ее губы немного тонкие и плохо очерченные, а подбородок менее классический, чем у других женщин.’
==========================

королева Иордании Рания заняла второе место с результатом 88,9 процента. Она самая привлекательная из ныне живущих королевских особ, на которых доктор Де Сильва использовал свою технологию картирования лиц. У нее были самые высокие оценки за ее классически очерченный подбородок, а также очень высокие оценки за ее губы. (не у этого ли доктора Рания «правила» своё лицо?)
=============================

Грейс набрала 88,8 процента голосов и заняла третье место. Доктор Джулиан Де Сильва сказал: «княгиня Грейс обладает классической красотой у неё самые высокие оценки за расстояние между глазами, а ее положение глаз почти идеально с оценкой 99,8 процента. Ее потрясающие губы также набрали самый высокий балл. Она потеряла оценки за подбородок, который немного расплывчат.’
=================================

Меган набрала 87,7 процента голосов и заняла четвертую позицию. Она, по словам доктора Де Сильвы, самая привлекательная принцесса в топе. Меган выделяется благодаря своей «прекрасной симметрии лица», отметил доктор. Он добавил, что она » ближе, чем любая другая принцесса, к тому, чтобы иметь то, что греки считали идеальным лицом.’
===============================

Герцогиня Кембриджская вплотную подошла к Меган с результатом 86,82 процента. Доктор Де Сильва заметил, что она все еще одна из самых красивых женщин. — Кейт отличается идеальной расстоянием между носом и губами и очень большим расстоянием между глазами. Она была отмечена как обладательница более слабого подбородка и линии подбородка, чем Диана.’
—————————
ИСТОЧНИК-https://www.dailymail.co.uk/galleries/article-8824871/The-attractive-royals-time-according-ancient-Greek-golden-ratio.html?ito=twitter_share_comment_text#comments

Марио Ливио — φ – Число Бога. Золотое сечение – формула мироздания читать онлайн

Марио Ливио

φ – Число Бога. Золотое сечение – формула мироздания

Памяти моего отца Робина Ливио

Все права защищены. Никакая часть данной книги не может быть воспроизведена в какой бы то ни было форме без письменного разрешения владельцев авторских прав.

Права на перевод получены соглашением между Broadway Books (Crown Publishing Group, Random House LLC, a Penguin Random House Company) и литературным агентством «Синопсис»

Mario Livio

THE GOLDEN RATIO: The Story of PHI, the World’s Most Astonishing Number

© Mario Livio, 2002

© Бродоцкая А., перевод на русский язык, 2014

© ООО «Издательство АСТ», 2015

Секрет гармонии во всем

Являются ли некоторые числа более значимыми, чем другие? Конечно же, да! Если уж у простых людей, далеких от науки или мистики, есть свои любимые и нелюбимые числа, что же говорить про математиков и физиков? Число – такой же важный компонент культуры, как слово. Нет человека, которому бы ни о чем не говорили числа 7, 13 или 666. Но есть числа, которые влияют на нашу жизнь, даже если мы о них не знаем. Таково число фи, в котором кроется секрет гармонии во всем. Марио Ливио написал эту книгу, чтобы мы не были так слепы и не думали, что нумерология – это предрассудки.

Тимоти Хью, Коннектикут

Из чего складывается красота

Книга Марио Ливио полна увлекательнейших цифровых трюков, но, чтобы понять их, вовсе не нужно иметь математический склад ума. Все мы сталкиваемся с тем, что называют красотой. Но кто скажет, из чего складывается красота? Почему нам так нравится смотреть на картины старых мастеров, любоваться спиральными галактиками или разглядывать сосновую шишку? В своей книге Ливио раскрывает секреты красоты и уводит читателя в увлекательный мир математики – науки, которая объясняет все.

Элис Хоул, Лос-Анджелес

Потрясающее исследование

Я даю этой книге пять звезд из пяти! Эта книга – и для математиков, и для тех, кто не дружит с цифрами. Если вы любите науку, вас захватит потрясающее исследование, которое автор предпринимает в своем труде, если вы любитель беллетристики – эта книга станет для вас тем же, что и хороший детектив.

Рэндом Уэсли, Сан-Франциско

Формула вселенской гармонии

Марио Ливио написал прекрасную работу, в которой дается подробный исторический обзор того, как на протяжении веков люди старались открыть универсальную формулу вселенской гармонии. Оказалось, что все гораздо проще – все сводится к одному-единственному числу, известному как золотое сечение, или число Бога. Вы можете быть математиком или всего лишь человеком, которого чуть-чуть интересует мистика. Если вам интересен окружающий мир, книга приведет вас в восторг!

Кристофер Паркер, Кембридж

Хорошая литература

«Золотое сечение» – это настоящий шедевр талантливого автора. Я был впечатлен той четкой и захватывающей манерой, которая делает научный труд книгой не только для ума, но и для отдыха. В этой книге Марио Ливио одновременно отвечает на самые актуальные вопросы современной науки и рассказывает удивительную историю, увлечься которой способен каждый. Это хорошая литература во всех отношениях.

Мишель Тернер, Колд Спринг Харбор

«Золотое сечение» – это книга об одном-единственном числе, однако число это совершенно особое. Это число – 1,61803… – встречается и в лекциях по истории искусств, и в перечнях «любимых чисел», которые составляют математики. Не менее поразительно, что оно было предметом множества экспериментов по психологии.

Так называемое «золотое сечение» заинтересовало меня пятнадцать лет назад, когда я готовился к лекции об эстетике в физике (представьте себе, это отнюдь не оксюморон), и с тех пор оно не идет у меня из головы.

В создании этой книги прямо и косвенно поучаствовало столько моих коллег, друзей и учеников, что всех и не перечислишь. Здесь я хотел бы выразить особую благодарность Иву-Алену Буа, Митчу Фейгенбауму, Гиллелю Гаухману, Теду Хиллу, Рону Лифшицу, Роджеру Пенроузу, Джоанне Постма, Полу Стейнхардту, Пат Тиль, Анне ван дер Хельм, Дивакару Вишванату и Стивену Вольфраму – за бесценные сведения и крайне продуктивные споры.

Я благодарен своим коллегам Даниэле Кальцетти, Стефано Казертано и Массимо Стиавелли за помощь с переводами с латыни и итальянского, Клаусу Лейтереру и Эрмине Ландт за помощь с переводами с немецкого, а Патрику Годону – за помощь с переводами с французского. Сара Стивенс-Рейберн, Элизабет Фрэзер и Нэнси Хэнкс очень посодействовали мне во всем, что касалось лингвистики и библиографии. Особенно я благодарен Шэрон Тулан за содействие в подготовке рукописи.

Искренне благодарю своего литературного агента Сьюзен Рабинер за то, что она не давала мне опустить руки до начала и во время работы над книгой. Я в огромном долгу перед Джеральдом Ховардом, моим редактором из издательства «Doubleday Broadway», за то, что он так тщательно вычитывал рукопись и делал такие точные, глубокие замечания. Также я благодарен Ребекке Холланд, выпускающему редактору в «Doubleday Broadway», за постоянное содействие в то время, пока книга была в печати.

И, наконец, эта книга вообще была написана исключительно благодаря постоянной помощи, терпению и поддержке Софи Ливио.

Прелюдия к числу

Много есть чудес на свете.

Софокл (495–405 гг. до н. э.) (Пер. С. Шервинского, Н. Познякова)

Знаменитый английский физик лорд Кельвин (Уильям Томпсон, 1824–1907), в честь которого назван градус абсолютной температурной шкалы, во время одной своей лекции сказал: «Если знание невозможно выразить численно, значит, оно поверхностно и недостаточно». Разумеется, Кельвин имел в виду то знание, которое необходимо для научного прогресса. Однако числа и математика удивительным образом предрасположены к тому, чтобы способствовать пониманию даже того, что крайне далеко от науки – или, по крайней мере, представляется таким на первый взгляд. В «Тайне Мари Роже» Эдгара Аллана По знаменитый детектив Огюст Дюпен замечает: «Мы превращаем случайность в предмет точных исчислений. Мы подчиняем непредвиденное и невообразимое научным математическим формулам» (пер. И. Гуровой). Можно пояснить это и на более простом примере. Представьте себе, что вы готовитесь к приему гостей и столкнулись со следующей задачей: у вас есть шоколадка, состоящая из двенадцати долек – сколько раз нужно ее разломить, чтобы разделить все части? Ответ куда проще, чем вы думали, и почти не требует вычислений. Каждый раз, когда вы ломаете шоколадку, у вас получается на один кусок больше, чем раньше. Следовательно, если вам нужно получить двенадцать кусков, придется ломать шоколадку одиннадцать раз (убедитесь сами). А если обобщить, то количество разломов всегда будет на один меньше, чем требуемое количество кусков, независимо от того, из скольких частей состоит шоколадка.

Читать дальше

Формула раздела | Блестящая математика и естественные науки вики

Если точка P(x,y)P (x,y)P(x,y) лежит на отрезке AB‾\overline{AB}AB (((между точками AAA и B)B)B) и удовлетворяет AP: PB=m:n,AP:PB=m:n,AP:PB=m:n, то говорят, что PPP делит AB‾\overline{AB}AB внутри в отношении m:nm:nm:n. Точка разделения имеет координаты

.

P=(mx2+nx1m+n,my2+ny1m+n).P=\left( \dfrac{mx_2 + nx_1}{m+n}, \dfrac{my_2 + ny_1}{m+n} \right) .P=(m+nmx2​+nx1​,m+nmy2​+ny1​​).

Формулу можно получить, построив два подобных прямоугольных треугольника, как показано ниже. Их гипотенузы расположены вдоль отрезка прямой и находятся в отношении m:nm:nm:n.

Красный и зеленый треугольники подобны, так как соответствующие углы треугольников равны. Это означает, что отношения их соответствующих сторон равны. Обратите внимание, что точка PPP находится на расстоянии мм+n×AB\frac{m}{m+n} \times ABm+nm​×AB от AAA.То есть

x=x1+mm+n(x2−x1)=(m+n)x1+mx2−mx1m+n=mx2+nx1m+n.(1)\begin{align} x & = x_1 + \frac{m }{м + п} (х_2 — х_1) \\
& = \frac{(m + n) x_1 + m x_2 — m x _1}{m + n} \\
& = \frac{ m{ x }_{ 2 }+n{ x }_{ 1 }}{m + n}. \qquad (1)
\end{align}x​=x1​+m+nm​(x2​-x1​)=m+n(m+n)x1​+mx2​-mx1​​=m+nmx2​+nx1​​. (1)​

Аналогично, вычисление yyy дает

y=my2+ny1m+n. (2) y= \frac{m{ y }_{ 2 }+n{ y }_{ 1 }}{m + n}. \qquad (2)y=m+nmy2​+ny1​.(2)

Следовательно, из (1)(1)(1) и (2)(2)(2)

P(x,y)=(mx2+nx1m+n,my2+ny1m+n).□P (x,y) = \left( \dfrac { m{ x }_{ 2 }+n{ x }_{ 1 } }{ m+n }, \dfrac { m{ y }_{ 2 }+ n{ y }_{ 1 } }{ m+n } \right). \ _\squareP(x,y)=(m+nmx2​+nx1​​,m+nmy2​+ny1​​). □​

В качестве частного случая внутреннего деления, если PPP является серединой AB‾\overline{AB}AB, то она делит AB‾\overline{AB}AB внутри в соотношении 1:11:11:1. Следовательно, применяя формулу внутреннего деления и подставляя m=n=1m = n = 1m=n=1, получаем

P=(x1+y12,x2+y22).P=\left( \dfrac{x_1+y_1}{2}, \dfrac{x_2+y_2}{2} \right).P=(2×1​+y1​​, 2×2​+y2​​).

Учитывая A=(−3,1)A=(-3,1)A=(−3,1) и B=(3,−6)B=(3,-6)B=(3,−6) , каковы координаты точки P=(x,y)P=(x,y)P=(x,y), которая внутренне делит отрезок AB‾\overline{AB}AB в соотношении 1:2?1: 2?1:2?

ОТВЕЧАТЬ

Точка PPP находится на расстоянии 11+2×AB\frac{1}{1+2} \times AB1+21​×AB от точки AAA.

При измерении параллельно оси ххх получаем

х=-3+13×(3-(-3))=-1.\begin{выровнено}
x & = -3 + \frac{1}{3} \times \big(3 — (-3)\big) \\
&= -1.
\end{выровнено}x​=−3+31​×(3−(−3))=−1.​

При измерении параллельно оси yyy мы получаем

y=1+13×(-6−1)=-43.\begin{align} y & = 1 + \frac{1}{3} \times (-6 -1) \\ & = — \frac {4}{3}. \end{выровнено}y​=1+31​×(−6−1)=−34​.​

Таким образом, координаты PPP равны (−1,−43)\big( -1, -\frac{4}{3} \big) (−1,−34​) □_\square□​

Учитывая A=(−3,6)A=(-3,6)A=(−3,6), каковы координаты B=(x2,y2)B=(x_2,y_2)B=(x2​ ,y2​), если точка P=(−2,4)P=(-2,4)P=(−2,4) делит отрезок AB‾\overline{AB}AB внутри в отношении 1:3?1 :3?1:3?

ОТВЕЧАТЬ

В этом примере нам нужно найти одну из конечных точек отрезка.Рисование подобных треугольников поможет нам решить и эту задачу.

Соотношение сторон треугольника 1:31 : 31:3. Длина основания розового треугольника -2-(-3)=1-2 — (-3) = 1-2-(-3)=1. Основание зеленого треугольника в три раза длиннее, то есть x−(−2)=3×1x — (-2) = 3 \times 1x−(−2)=3×1. Решение этого дает x=1x = 1x=1.

Высота розового треугольника равна 4-6=-24-6=-24-6=-2. Высота зеленого треугольника в три раза больше, то есть y−4=3×(−2)y — 4 = 3 \times (-2)y−4=3×(−2).Решение этого уравнения дает y=-2y = -2y=-2.

Таким образом, координаты BBB равны (1,−2).(1,-2).(1,−2). □_\квадрат□​

Учитывая A=(-2,-1)A= (-2,-1)A=(-2,-1) и B=(4,11)B=(4,11)B=(4,11) , точка P=(x,y)P= (x,y)P=(x,y) внутренне делит отрезок AB‾\overline{AB}AB в отношении m:nm:nm:n. Если PP P является точкой пересечения AB‾\overline{AB}AB и оси yyy, каково значение m:n?m : n?m:n?

ОТВЕЧАТЬ

Поскольку точка PPP находится на оси yyy, ее координата xxx равна нулю.Мы можем записать координаты PPP как (0,y)(0,y)(0,y).

Горизонтальное расстояние между PP P и AAA составляет 0−(−2)=20 — (-2) = 20−(−2)=2.
Расстояние по горизонтали между BBB и PPP равно 4−0=44 — 0 = 44−0=4.

Отношение оснований прямоугольных треугольников равно 2:42 : 42:4 или 1:21 : 21:2. Поскольку треугольники подобны, отношение их гипотенуз также равно 1:21:21:2.

Следовательно, точка PPP делит отрезок ABABAB в отношении 1:21 : 21:2. □_\квадрат□​

В каком отношении точка P=(−3,7)P=(-3,7)P=(−3,7) делит отрезок, соединяющий A=(−5,11)A=(-5,11) )A=(−5,11) и B=(4,−7)?B=(4,-7)?B=(4,−7)?

ОТВЕЧАТЬ

Мы можем нарисовать 2 подобных прямоугольных треугольника: красный треугольник с гипотенузой APAPAP и синий треугольник с гипотенузой PB.ПБ.ПБ.

Точка PPP делит отрезок ABABAB в отношении AP:PBAP : PBAP:PB, что эквивалентно a:ba:ba:b, поскольку треугольники подобны. Найдем длины aaa и b:b:b:

a=(−3)−(−5)=2,b=4−(−3)=7.a = (-3) — (-5) = 2, \quad b = 4 — (-3) = 7.а=(-3)-(-5)=2,b=4-(-3)=7.

Таким образом, точка PPP делит отрезок ABABAB в отношении a:b=2:7a : b = 2 : 7a:b=2:7.

В качестве альтернативы отношение AP:PBAP : PBAP:PB также равно c:d,c : d,c:d, т.е.е.

c=7−11=−4,d=(−7)−7=−14  ⟹  c:d=2:7.c = 7 — 11 = -4, \quad d = (-7) — 7 = -14 \ подразумевает c:d=2:7.c=7−11=−4,d=(−7)−7=−14⟹c:d=2:7.

Мы снова получаем соотношение 2:72 : 72:7, что согласуется с нашими предыдущими расчетами. □_\квадрат□​

Для решения вопросов, подобных приведенному выше примеру, существует альтернативный метод, в котором вам нужно решать только для одной переменной вместо двух переменных. Приведенный ниже пример демонстрирует это.

Найдите отношение, в котором точка (5,4)(5,4)(5,4) делит прямую, соединяющую точки (2,1)(2,1)(2,1) и (7,6)(7) ,6)(7,6).

ОТВЕЧАТЬ

Вы можете решить этот вопрос обычным методом, приняв соотношение m:nm : nm:n. Но сейчас мы возьмем другую замену. Предположим, что k=mnk = \dfrac{m}{n}k=nm​, так что m:n=k:1m : n = k : 1m:n=k:1. Теперь требуемое соотношение будет k:1k : 1k:1.
P (x,y)=(kx2+x1k+1,y=ky2+y1k+1)P~(x,y) = \left(\dfrac{kx_2 + x_1}{k + 1} \quad , \quad y = \dfrac{ky_2 + y_1}{k + 1}\right)P (x,y)=(k+1kx2​+x1​​, y=k+1ky2​+y1​​)
Учитывая, что точка P=(5,4)P=(5,4)P=(5,4).Итак, замените либо xxx, либо yyy в приведенном выше результате.

x=kx2+x1k+1  ⟹  5=7k+2k+1x = \dfrac{kx_2 + x_1}{k + 1} \ подразумевает 5 = \dfrac{7k + 2}{k + 1}x=k+1kx2 ​+x1​​⟹5=k+17k+2​

  ⟹  k=32\подразумевается k = \dfrac{3}{2}⟹k=23​.

Найдите координаты точки PPP, которая разделяет прямую, соединяющую A=(4,−5)A = (4 , -5)A=(4,−5) и B=(6,3)B = (6 , 3)В=(6,3) в соотношении 2:52 : 52:5.

ОТВЕЧАТЬ

Пусть координаты PPP будут (x,y)(x , y)(x,y).P (x,y)=(2×6+5×42+5,2×3+5×−52+5)P (x,y)=(12+207,6−257)∴P=(327 ,−197)\begin{выровнено}
P~(x , y) & = \left(\dfrac{2 \times 6 + 5 \times 4}{2 + 5}, \dfrac{2 \times 3 + 5 \times -5}{2 + 5} \правильно) \\
P~(x, y) & = \left(\dfrac{12 + 20}{7}, \dfrac{6 — 25}{7} \right) \\
\поэтому P & = \left(\dfrac{32}{7} , -\dfrac{19}{7} \right) \\
\end{align}P (x,y)P (x,y)∴P​=(2+52×6+5×4​,2+52×3+5×−5​)=(712+20 ​,76−25​)=(732​,−719​)​

Найдите координаты середины отрезка, соединяющего точки (4,−6)(4,-6)(4,−6) и (−2,4)(-2,4)(− 2,4).

ОТВЕЧАТЬ

Средняя точка = (x1+x22,y1+y22)=(4−22,−6+42)=(1,−1) Средняя точка = \left(\dfrac{x_1 + x_2}{2} , \dfrac {y_1 + y_2}{2} \right) = \left(\dfrac{4 — 2}{2} , \dfrac{-6 + 4}{2} \right) = (1,-1)Средняя точка= (2×1​+x2​,2y1​+y2​)=(24−2​,2−6+4​)=(1,−1)

Подробнее о мидпойнте можно узнать в этой вики.

А=(7,-2), А= (7,-2),А=(7,-2), В=(-1,0),В=(-1,0),В=(-1 ,0), С=(-2,8)С=(-2,8)С=(-2,8)

А=(0,9), А= (0,9),А=(0,9), В=(-4,-1),В=(-4,-1),В=(-4, −1), С=(6,1)С=(6,1)С=(6,1)

А=(9,1), А=(9,1),А=(9,1), В=(6,-8),В=(6,-8),В=(6,-8) , С=(6,12)С=(6,12)С=(6,12)

А=(3,-8), А= (3,-8),А=(3,-8), В=(-14,3),В=(-14,3),В=(-14 ,3), С=(-4,2)С=(-4,2)С=(-4,2)

В треугольнике ABC,ABC,ABC середины сторон BC, BC, BC, CA CA CA и AB AB AB равны (1,0), (1, 0), (1,0), (3,5) (3, 5) (3,5) и (-2,4), (-2, 4), (-2,4) соответственно. Найдите координаты трех вершин A,A,A, BBB и C.C.C.

Отправьте свой ответ

Как показано на диаграмме выше, четыре точки O=(1,−3),K=(a,b),A=(c,d),Y=(2,7)O=(1,-3) , K = (a,b), A=(c,d), Y= (2,7)O=(1,−3),K=(a,b),A=(c,d),Y =(2,7) лежат на одном отрезке.Если OK=KA=AY,OK=KA=AY,OK=KA=AY, каково значение a+b+c+d?a+b+c+d?a+b+c+d?

Формула расстояния и сечения | Блестящая математика и естественные науки вики

Формула расстояния используется для определения расстояния между двумя определенными точками на графике (при отсутствии шкалы).

Расстояние между двумя точками A=(x1,y1)A=(x_1,y_1)A=(x1​,y1​) и B=(x2,y2)B=(x_2,y_2)B=(x2​,y2 ​) определяется по формуле

АВ=(x2−x1)2+(y2−y1)2.2 — 12х + 20 &= 0 \\
(х — 2)(х — 10) &= 0 \\
х &= 2 \текст{ или }10.
\end{выровнено}525×2−12x+20(x−2)(x−10)x​=(x−6)2+(0−3)2​=x2−12x+36+9=0=0= 2 или 10.​

Следовательно, требуемые точки на оси xxx равны (2,0)(2,0)(2,0) и (10,0)(10,0)(10,0). □_\квадрат□​

Найдите точку на оси yyy, которая равноудалена от точек (12,3)(12,3)(12,3) и (-5,10)(-5,10)(-5,10).

ОТВЕЧАТЬ

Пусть искомая точка на оси yyy будет (0,y).2 — 20л\\
у &= -2.
\end{выровнено}(12−0)2+(3−y)2​144+9+y2−6yy​=(−5−0)2+(10−y)2​=25+100+y2− 20y=−2.​

Следовательно, искомая точка равна (0,−2)(0,−2)(0,−2). □_\квадрат□​

Условие коллинеарности трех точек

Три точки A,B,CA,B,CA,B,C называются коллинеарными тогда и только тогда, когда сумма расстояний между любыми двумя точками равна расстоянию между этой точкой и третьей точкой. 2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}.\end{выровнено}ABBCAC​=(6−1)2+(4+1)2​=50​=52​=(4−6)2+(2−4)2​=8​=22​= (4−1)2+(2+1)2​=18​=32​.​

As, BC + AC = 22 + 32 = 52 = AB {\ color {# 3D99F6} BC + AC} = 2 \ sqrt {2} + 3 \ sqrt {2} = 5 \ sqrt {2} = {\ color {#3D99F6}AB}BC+AC=22​+32​=52​=AB, данные точки лежат на одной прямой. □_\квадрат□​

Основы координатной геометрии — Формула раздела

На этом уроке мы установим формулу для нахождения координат точки, которая делит отрезок, соединяющий две заданные точки в заданном отношении.Формула известна как формула раздела . Начнем!

Рассмотрим две точки P(x 1 , y 1 )  и Q(x 2 , y 2 ) . Нам нужно найти координаты точки R , которая делит PQ в отношении m : n , то есть PR / RQ = m / n .

Учитывая соотношение, точка R может либо лежать между P и Q , либо вне отрезка PQ . Посмотри.

(Обратите внимание, что на приведенном выше рисунке м и n не обозначают длины PR и QR . Они просто указывают соотношение.)

Давайте рассмотрим эти случаи один за другим.

Случай I – R лежит между P и Q

Сначала я проиллюстрирую уродливый (но действующий) метод вычисления координат R , используя уже известную нам формулу расстояния. Как я упоминал ранее, существует (в общем) несколько методов решения задачи координатной геометрии.Это один из таких случаев. Идея состоит в том, чтобы развить ваш уровень мышления и дать вам представление о том, какие методы хороши, а какие нет.

Вот как можно подумать: «Поскольку есть два неизвестных x и y (т.е. координаты R ), мне нужно найти два уравнения или два геометрических условия, которые я преобразую в ( разрешимых) уравнений, используя известные мне формулы».

Хм.. одно условие уже задано, PR/RQ = m/n , или n.2}\)

Я остановлюсь здесь. Возможно, вы поняли, почему это не лучший метод. На самом деле, как мы увидим позже, методы, использующие формулу расстояния, обычно становятся довольно сложными и трудными для решения.

Так какая у нас альтернатива? Немного геометрии — давайте сделаем некоторые построения.

Я нарисовал RA и QB параллельно оси Y , а PA и RB параллельно оси X .Тогда треугольники RPA и QRB подобны по АА-подобию.

Чем это поможет? Нам дано PR/QR , что с помощью подобия равно RA/QB и PA/RB . Позвольте мне написать это лучше:

\(\frac{PR}{QR} = \frac{RA}{QB} = \frac{PA}{RB} = \frac{m}{n}\)

Теперь PA = x – x 1  и RB = x 2 – x (я объяснял это в предыдущем уроке. )

Следовательно, мы можем написать

\(\frac{PA}{RB}=\frac{x-x_1}{x_2-x}=\frac{m}{n}\)

Решив вышесказанное для x , мы получим

x = \(\frac{mx_2+nx_1}{m+n}\)

А как насчет и ?

На рисунке выше RA = y – y 1 и QB = y 2 – y .

Теперь мы можем использовать тот же процесс, чтобы получить

.

y = \(\frac{my_2+ny_1}{m+n}\)

Итак, мы имеем координаты точки R , которая делит PQ в отношении m: n .

Когда R лежит между P и Q , мы говорим, что R делит PQ в соотношении m : n внутри . Вот симуляция, которая показывает две точки A и B , а также точку C , разделяющую соединяющий их отрезок в некотором отношении.

Попробуйте изменить значения m и n и посмотрите координаты C . Вы получаете те же координаты, используя формулу сечения?

Давайте посмотрим, что произойдет, когда R окажется за пределами PQ .

Корпус II – R лежит снаружи PQ

Приведенное условие такое же, т.е. PR/RQ = m/n , но цифра будет немного другая.

В этом случае говорят, что R делит PQ внешне в отношении m : n .

Я не собираюсь выводить это. Пожалуйста, попробуйте сделать это сами. Метод тот же, что и в первом случае – найти подобные треугольники, выразить данное отношение через х 1 , х 2 , у 1 и 5 912 7 у . 2 .

Если вы все сделаете правильно, вы должны получить

х = \( \frac{mx_2-nx_1}{mn}\)

y = \( \frac{my_2-ny_1}{mn}\)

Итоги урока

  1. Координаты точки разделения сегмента линии присоединение (x 1 , Y 1 ) и (x 2 , Y 2 ) В соотношении м: N Внутренний на \(\left ( \frac{mx_2+nx_1}{m+n} , \frac{my_2+ny_1}{m+n} \right ) \)
  2. Координаты точки, разделяющей отрезок, соединяющий (x 1 , y 1 ) и (x 2 , y 2 ) , задаются внешним образом в соотношении м : \(\left (\frac{mx_2-nx_1}{mn}, \frac{my_2+ny_1}{m+n} \right) \)

Вот и все. Увидимся на следующем уроке с некоторыми примерами и применениями формулы сечения!

Формула сечения — A Plus Topper

Формула сечения

Пусть A и B — две точки в плоскости бумаги, как показано на рис. и P — точка на отрезке, соединяющем A и B, такая, что AP : BP = m : n. Тогда точка P делит отрезок AB внутри в отношении m : n.

Если P — точка на AB, произведенная таким образом, что AP : BP = m : n, то говорят, что точка P делит AB внешне в отношении m : n.

Координаты точки, которая делит отрезок, соединяющий точки (x 1 , y 1 ) и (x 2 , y 2 ) внутри отношения m : n, равны
\ ( \left( x=\frac{m{{x}_{2}}+n{{x}_{1}}}{m+n},\ y=\frac{m{{y}_{ 2}}+n{{y}_{1}}}{m+n} \right) \)

Координаты точки P:       \(\left( \frac{m{{x}_{2}} +n{{x}_{1}}}{m+n},\ \frac{m{{y}_{2}}+n{{y}_{1}}}{m+n} \ right)\)
Примечание 1:
Если P — середина AB, то она делит AB в отношении 1 : 1, поэтому ее координаты равны
\(\left( \frac{1\ . \ {{x}_{1}}+1\,.\,{{x}_{2}}}{1+1},\ \frac{1\,.\,{{y}_{1 }}+1\,.\,{{y}_{2}}}{1+1} \right)=\left( \frac{{{x}_{1}}+{{x}_{ 2}}}{2},\ \frac{{{y}_{1}}+{{y}_{2}}}{2} \right)\)
Примечание 2:
Рис. помогите запомнить формулу раздела.

Примечание 3:
Отношение m : n также может быть записано как    \(\frac{m}{n}:1,\)   или   λ : 1, где λ =  \(\frac{m}{n }:1.\)
Итак, координаты точки P, разделяющей отрезок, соединяющий точки A(x 1 , y 1 ) и B(x 2 , y 2 ), равны
\( \left( \frac{m{{x}_{2}}+n{{x}_{1}}}{m+n},\ \frac{m{{y}_{2}}+n {{y}_{1}}}{m+n} \right)=\left( \frac{\frac{m}{n}{{x}_{2}}+{{x}_{1 }}}{\frac{m}{n}+1},\ \ frac{\frac{m}{n}{{y}_{2}}+{{y}_{1}}}{\ frac{m}{n}+1} \right) \)
\( \text{ }=\left( \frac{\lambda {{x}_{2}}+{{x}_{1}} }{\lambda +1},\ \\frac{\lambda {{y}_{2}}+{{y}_{1}}}{\lambda +1} \right) \)

Подробнее: Расстояние между двумя точками. сегмент присоединиться точки (6, 3) и (– 4, 5) в соотношении 3 : 2 внутри.
Сол.     Пусть P (x, y) — искомая точка. Затем
\( x=\frac{3\times (-4)+2\times 6}{3+2}\text{ и }y=\frac{3\times 5+2\times 3}{3 +2} \)
\( \Rightarrow x=0\text{ и }y=\frac{21}{5} \)

Итак, координаты P равны (0, 21/5).

Пример 2:      Найдите координаты точек, которые пересекают отрезок, соединяющий точки (1, –2) и (–3, 4).
Сол.     Пусть A(1, –2) и B(–3, 4) – заданные точки.
Пусть точками трисекции будут P и Q.Тогда
AP = PQ = QB = λ (скажем).

∴  PB = PQ + QB = 2λ и AQ = AP + PQ = 2λ
⇒ AP : PB = λ : 2λ = 1 : 2 и
AQ : QB = 2λ : λ = 2 : 1
Итак, P делит AB внутренне в отношении 1 : 2, в то время как Q делится внутренне в отношении 2 : 1. Таким образом, координаты P и Q равны
\( P\left( \frac{1\times (-3)+2\times 1} {1+2},\ \frac{1\times 4+2\times (-2)}{1+2} \right)=P\left( \frac{-1}{3},\ 0 \right ) \)
\( Q\left( \frac{2\times (-3)+1\times 1}{2+1},\ \frac{2\times 4+1\times (-2)}{ 2+1} \right)=Q\left( \frac{-5}{3},\ 2 \right)\text{ соответственно} \)
Следовательно, две точки трисекции равны (–1/3, 0 ) и (–5/3, 2).

Тип II: При нахождении отношения сечения или конечной точки отрезка, когда точка сечения задана
Пример 3:      В каком отношении ось x делит отрезок, соединяющий точки 3) и (5, 6)? Также найдите координаты точки пересечения.
Сол.     Пусть искомое отношение равно λ : 1. Тогда координаты точки деления:
\( R\left( \frac{5\lambda +2}{\lambda +1},\ \frac{6\ lambda -3}{\lambda +1} \right) \)

Но это точка на оси x, на которой y-координата каждой точки равна нулю.
\( \frac{6\lambda -3}{\lambda +1}=0 \)
\( \Rightarrow \lambda =\frac{1}{2} \)
Таким образом, искомое отношение равно 1/2 : 1 или 1 : 2.

Пример 4:      Если точка C (–1, 2) делит внутри отрезок, соединяющий A (2, 5) и B в отношении 3 : 4, найдите координаты точки B.
Сол.     Пусть координаты B равны (α, β). Дано, что AC : BC = 3 : 4. Итак, координаты C равны

\( \left( \frac{3\alpha +4\times 2}{3+4},\ \frac{3\ бета +4\times 5}{3+4} \right)=\left( \frac{3\alpha +8}{7},\ \frac{3\beta +20}{7} \right) \)
Но координаты C равны (–1, 2)
\( \frac{3\alpha +8}{7}=-1\text{ и }\frac{3\beta +20}{7}= 2 \)
⇒ α = – 5 и β = – 2
Таким образом, координаты B равны (–5, –2).

Пример 5:      Определите отношение, в котором прямая 3x + y – 9 = 0 делит отрезок, соединяющий точки (1, 3) и (2, 7).
Сол. Предположим, что прямая 3x + y – 9 = 0 делит отрезок, соединяющий A (1, 3) и B(2, 7), в отношении k : 1 в точке C. Тогда координаты C равны
\( \ left( \frac{2k+1}{k+1},\ \\frac{7k+3}{k+1} \right) \)
Но C лежит на 3x + y – 9 = 0. Следовательно,
\( 3\left( \frac{2k+1}{k+1} \right)+\frac{7k+3}{k+1}-9=0 \)
⇒ 6k + 3 + 7k + 3 – 9k – 9 = 0
⇒ k = \(\frac { 3 }{ 4 }\)
Итак, требуемое внутреннее соотношение равно 3 : 4.

Тип III : Об определении типа данного четырехугольника
Пример 6:       Докажите, что точки (–2, –1), (1, 0), (4, 3) и (1, 2 ) являются вершинами параллелограмма. Это прямоугольник?
Сол.     Пусть заданы точки A, B, C и D соответственно. Тогда
Координаты середины АС равны
\( \left( \frac{-2+4}{2},\ \frac{-1+3}{2} \right)=(1,\ text{ }1) \)
Координаты середины BD:
\( \left( \frac{1+1}{2},\ \frac{0+2}{2} \right)=( 1,\text{ }1) \)
Таким образом, AC и BD имеют одну и ту же середину. {2}}}=2 \)
Ясно, что AC ≠ BD. Значит, ABCD не прямоугольник.

Пример 7:       Докажите, что (4, – 1), (6, 0), (7, 2) и (5, 1) — вершины ромба. Это квадрат?
Сол. Пусть заданы точки A, B, C и D соответственно. Тогда
Координаты середины АС равны
\( \left( \frac{4+7}{2},\ \frac{-1+2}{2} \right)=\left( \frac {11}{2},\ \frac{1}{2} \right) \)
Координаты середины BD равны
\( \left( \frac{6+5}{2},\ \ frac{0+1}{2} \right)=\left( \frac{11}{2},\ \frac{1}{2} \right) \)
Таким образом, AC и BD имеют одинаковую середину точка.{2}}}=\sqrt{2} \)
Ясно, что AC ≠ BD.
Итак, ABCD не является квадратом.

Тип IV: Нахождение неизвестной вершины по данным точкам
Пример 8:       Три вершины параллелограмма, взятые по порядку, это (–1, 0), (3, 1) и (2, 2) соответственно . Найдите координаты четвертой вершины.
Сол.     Пусть A(–1, 0), B(3, 1), C(2, 2) и D(x, y) — вершины параллелограмма ABCD, взятые по порядку. Так как диагонали параллелограмма делят друг друга пополам.
∴  Координаты средней точки AC = Координаты средней точки BD
\( \Rightarrow \left( \frac{-1+2}{2},\ \frac{0+2}{2} \right)=\left( \frac{3+x}{2},\ \frac{1+y}{2} \right) \)
\( \Стрелка вправо \left( \frac{1}{2} ,\ 1 \right)=\left( \frac{3+x}{2},\ \frac{y+1}{2} \right) \)
\( \Rightarrow \frac{3+x}{ 2}=\frac{1}{2}\text{ и }\frac{y+1}{2}=1 \)
⇒  x = – 2 и y = 1
Следовательно, четвертая вершина параллелограмма (–2, 1).

Пример 9:       Если точки A (6, 1), B (8, 2), C(9, 4) и D(p, 3) являются вершинами параллелограмма, взятые по порядку, найдите значение с.
Сол. Мы знаем, что диагонали параллелограмма делят друг друга пополам. Итак, координаты середины диагонали AC совпадают с координатами середины диагонали BD.
\( \left( \frac{6+9}{2},\ \frac{1+4}{2} \right)=\left( \frac{8+p}{2},\ \frac{ 2+3}{2} \right) \)
\( \Стрелка вправо \left( \frac{15}{2},\ \frac{5}{2} \right)=\left( \frac{8+ p}{2},\ \frac{5}{2} \right) \)
\( \Rightarrow \frac{15}{2}=\frac{8+p}{2} \)
⇒ 15 = 8 + p
⇒ p = 7

Пример 10:       Если A(–2, –1), B(a, 0), C(4, b) и D(1, 2) являются вершинами параллелограмм, найдите значения a и b.
Сол. Мы знаем, что диагонали параллелограмма делят друг друга пополам. Следовательно, координаты середины АС совпадают с координатами середины BD, т.е.
\( \left( \frac{-2+4}{2},\ \frac{-1+ b}{2} \right)=\left( \frac{a+1}{2},\ \frac{0+2}{2} \right) \)
\( \Стрелка вправо \left( 1,\ \frac{b-1}{2} \right)=\left( \frac{a+1}{2},\ 1 \right)  \)
\( \Rightarrow \frac{a+1}{2} =1\text{   и   }\frac{b-1}{2}=1 \)
⇒ a + 1 = 2 и b – 1 = 2
⇒ a = 1 и b = 3

Пример 11: Если координаты середины сторон треугольника равны (1, 2) (0, –1) и (2, 1).Найдите координаты его вершин.
Сол.     Пусть A(x 1 , y 1 ), B(x 2 , y 2 ) и C(x 3 , y 3 ) — вершины ∆ABC. Пусть D (1, 2), E (0, –1) и F(2, –1) — середины сторон BC, CA и AB соответственно. Так как D является серединой BC.
\( \frac{{{x}_{2}}+{{x}_{3}}}{2}=1\text{ и }\frac{{{y}_{2}}+{ {y}_{3}}}{2}=2 \)
⇒ x 2  + x 3 = 2 и y 2 + y 3 = 4              …. (1)
Точно так же E и F являются серединами CA и AB соответственно.
\( \frac{{{x}_{1}}+{{x}_{3}}}{2}=0\text{ и }\frac{{{y}_{1}}+{ {y}_{3}}}{2}=-1 \)
⇒ x 1 + x 3 = 0 и y 1 + y 3 = – 2        …. (2)
\( \frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}{2}=2\text{ и }\frac{{{y}_{1} }+{{y}_{2}}}{2}=-1 \)
⇒ x 1 + x 2 = 4 и y1 + y2 = –2        …. (3)
Из (1), (2) и (3) получаем
2 + х 3 ) + (х 1 + х 3 ) + (х 1 + х 2 ) = 2 + 0 + 4 и,
2 + у 3 ) + (у 1 + у 3 ) + (у 1 + 5 ) 4 –2 – 2
⇒ 2(x 1 + x 2 + x 3 ) = 6 и 2(y 1 + y 2 + y 3 ) = .    ) = .    )(4)
⇒ х 1 + х 2 + х 3 = 3
и у 1 + у 2 + у 3 = 7 (0 90) и 7 0 90), получаем
x 1 + 2 = 3 и y 1 + 4 = 0
⇒ x 1 = 1 и y 1 = – 4
Итак, координаты A равны (1, – 4)
Из (2) и (4) получаем
x 2 + 0 = 3 и y 2 – 2 = 0
⇒ x 2 = 3 и y 2 = 2
Итак, координаты B равны (3, 2)
Из (3) и (4) получаем
x 3 + 4 = 3 и y 3 – 2 = 0
⇒ x 3 = – 1 и y 3 = 2
Итак, координаты C равны (–1, 2)
Следовательно, вершины треугольника ABC равны
A(1, – 4), B(3, 2) и C(–1, 2). {2}}}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}\text{ }единиц \)

Пример 13:      Если A (5, –1) , B(–3, –2) и C(–1, 8) – вершины треугольника ABC, найти длину медианы, проходящей через A, и координаты центра тяжести.{2}}}=\sqrt{49+16}=\sqrt{65}~\text{ }единиц \)

Пусть G — центр тяжести ∆ABC. Тогда G лежит на медиане AD и делит ее в отношении 2 : 1. Итак, координаты G равны
\( \left( \frac{2\times (-2)+1\times 5}{2+1} ,\ \frac{2\times 3+1\times (-1)}{2+1} \right)  \)
\( =\left( \frac{-4+5}{3},\ \frac {6-1}{3} \right)=\left( \frac{1}{3},\ \frac{5}{3} \right) \)

Применение формулы сечения

Координаты центроида треугольника, вершины которого (x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 ) и (x 3 , y 3 7 ) равны 90 (слева) ( \frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}}{3},\ \frac{{{y}_{1} }+{{y}_{2}}+{{y}_{3}}}{3} \right)\)

Пример 14:      Найти координаты центра тяжести треугольника, вершины которого (–1, 0), (5, –2) и (8, 2).
Сол.     Мы знаем, что координаты центра тяжести треугольника, угловые точки которого равны (x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 ) и (x 3 , y 4 )  
\(\left( \frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}}{3},\ \frac{{ {y}_{1}}+{{y}_{2}}+{{y}_{3}}}{3} \right)\)
Итак, координаты центра тяжести треугольника, вершины которого равны (–1, 0), (5, –2) и (8, 2) равны
\(\left( \frac{-1+5+8}{3},\,\frac{0-2+ 2}{3} \right)или,\left( 4,\text{ }0 \right)\)

Пример 15:      Если координаты средних точек сторон треугольника равны (1, 1 ), (2, – 3) и (3, 4) Найдите его центр тяжести.
Сол.     Пусть P (1, 1), Q(2, –3), R(3, 4) — середины сторон AB, BC и CA соответственно треугольника ABC. Пусть A(x 1 , y 1 ), B(x 2 , y 2 ) и C(x 3 , y 3 ) — вершины треугольника ABC. Тогда P — это середина BC
\( \Rightarrow \frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}{2}=1,\text{ }\frac {{{y}_{1}}+{{y}_{2}}}{2}=1 \)
⇒ x 1 + x 2 = 2 и y 1 + y 2 = 2            …(1)
Q — середина BC
\( \Rightarrow \frac{{{x}_{2}}+{{x}_{3}}}{2}=2, \text{ }\frac{{{y}_{2}}+{{y}_{3}}}{2}=-3 \)
⇒ x 2 + x 3 = 4 и y 2 + y 3 = – 6        …(2)
R — середина AC
\( \Rightarrow \frac{{{x}_{1}}+{{x}_{3} }}{2}=3,\text{ }\frac{{{y}_{1}}+{{y}_{3}}}{2}=4 \)
⇒ x 1 + x 3 = 6 и y1 1 + y 3 = 8          …(3)
Из (1), (2) и (3) получаем
x 1 + x 2 x + 2 + x 3 + x 1 + x 3 = 2 + 4 + 6
и, y 1 + Y 2 + Y 2 + Y 3 + Y 1 + у 3 = 2 – 6 + 8
x 1 + x 2 + x 3 = 6 и y 1 + y 2 + y 3 = 2 …(4)
Координаты центра тяжести
\( \left( \frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}}{3},\ \frac{{{y }_{1}}+{{y}_{2}}+{{y}_{3}}}{3} \right)=\left( \frac{6}{3},\ \frac{ 2}{3} \right) \)
\( =\left( 2,\ \frac{2}{3} \right)\text{ }\left[ Using\text{ }\left( 4 \right) \right] \)

Пример 16:      Двумя вершинами треугольника являются (3, –5) и (–7, 4). Если его центроид равен (2, –1). Найдите третью вершину.
Сол. Пусть координаты третьей вершины равны (x, y). Тогда
\(\frac{x+3-7}{3}=2\text{   и   }\frac{y-5+4}{3}=-1\)
⇒ x – 4 = 6 и y – 1 = – 3
⇒ x = 10 и y = – 2
Таким образом, координаты третьей вершины равны (10, –2).

Пример 17:      Докажите, что диагонали прямоугольника делятся пополам и равны.
Сол. Пусть OACB — прямоугольник, так что OA расположен вдоль оси x, а OB — вдоль оси y.Пусть ОА = а и ОВ = b.

Тогда координаты A и B равны (a, 0) и (0, b) соответственно.
Так как OACB — прямоугольник. Следовательно,
AC = Ob ⇒ AC = b
Таким образом, мы имеем
OA = a и AC = b
Итак, координаты C равны (a, b).
Координаты середины OC:
\( \left( \frac{a+0}{2},\ \frac{b+0}{2} \right)=\left( \frac{a }{2},\ \frac{b}{2} \right) \)
Также координаты середин AB равны
\( \left( \frac{a+0}{2},\ \frac{0+b}{2} \right)=\left( \frac{a}{2},\ \frac{b}{2} \right) \)
Очевидно, координаты середины ОС и АВ одинаковы. {2}}} \)
∴ OC = AB

Формула сечения – объяснение формул и примеры решения

Отрезок линии можно разделить на две части, поместив точку на линии между двумя крайними точками линии сегмент или, может быть, где-то снаружи. В координатной геометрии формулы сечения могут использоваться для нахождения связи между координатами точки, которая делит отрезок прямой на две части, и соотношением, в котором отрезок делится. Если нам предоставлены координаты точки, которая делит отрезок, мы можем использовать формулу сечения в математике, чтобы определить соотношение, в котором отрезок делится на точку.

В качестве альтернативы мы можем вычислить координату точки, которая делит отрезок в определенном отношении. Формула сечения может использоваться для определения инцентра, эксцентра и центра тяжести треугольника. Даже в физике его иногда используют для нахождения центра масс (ЦМ) жесткой системы частиц.

Формула сечения бывает двух типов в зависимости от положения точки, разделяющей их на две части:

  1. Формула сечения для внутреннего деления (используется, когда точка делит отрезок внутри).

  2. Формула сечения для внешнего деления (используется, когда точка делит отрезок внешней линии).

Формула внутреннего сечения

Этот тип формулы сечения используется, когда точка делит отрезок внутри, то есть точка находится между двумя крайними точками отрезка.

Пусть AB будет отрезком, где A(x 1 , y 1 ) и B(x 2 , y 2 ).

Пусть P(x, y) — точка, которая делит отрезок в отношении m:n внутри.

По формуле сечения для внутреннего деления,

(Изображение скоро будет загружено)

\[P(x, y) = P(\frac{mx_{2} + nx_{1}}{m+n}, \frac{my_{2} + ny_{1}}{m+n})\]

 

\[x = (\frac{mx_{2} + nx_{1}}{m+n})\ ]

 

\[y = (\frac{my_{2} + ny_{1}}{m+n})\]

Следовательно, мы получаем координаты P(x, y), которые делят прямую в соотношении m:n.

Иногда m:n принимают за k:1. В таком случае формула выглядит так:

\[P(x, y) = P(\frac{kx_{2} + x_{1}}{k+1}, \frac{ky_{2} + y_{1}}{k+1})\]

 

\[x = (\frac{kx_{2} + x_{1}}{k+1})\]

 

\[y = (\frac{ky_{2} + y_{1}}{k + 1})\]

 

Формула внешнего сечения

Этот тип формулы сечения используется, когда точка делит отрезок снаружи, то есть , точка лежит вне двух крайних точек отрезка.

Пусть AB будет отрезком, где A(x 1 , y 1 ) и B(x 2 , y 2 ).

Пусть P(x, y) — точка, которая внешне делит отрезок прямой в отношении m:n.

(Изображение скоро будет загружено)

\[P(x, y) = P(\frac{mx_{2} — nx_{1}}{m — n} , \frac{my_{2} — ny_ {1}}{m — n})\]

 

\[x = (\frac{m_{2} — nx_{1}}{m — n})\]

 

\[y = (\frac{my_{2} — ny_{1}}{m — n})\]

Формула сечения действительна не только в двух измерениях, но и для координатной геометрии в трех измерениях.

Пусть AB — отрезок с A(x 1 , y 1 , z 1 ) и B(x 2 , y 2 , z 2 ).

Пусть P(x, y, z) — точка, которая делит отрезок прямой в отношении m:n внутри.

\[P(x, y, z) = P(\frac{mx_{2} + nx_{1}}{m + n}, \frac{my_{2} + ny_{1}}{m + n}, \frac{mz_{2} + nz_{1}}{m + n})\]

 

\[x = (\frac{mx_{2} + nx_{1}}{m + n })\]

 

\[y = (\frac{my_{2} + ny_{1}}{m + n})\]

 

\[z = (\frac{mz_{2} + nz_{1}}{m + n})\]

 

Частный случай: формула средней точки

Когда точка P(x, y) делит отрезок на две половины, мы можем сказать, что P(x, y) — середина отрезка.Используя формулу сечения и середины:

м : n = 1 : 1, так как линия разделена на равные части, имеем.

\[P(x, y) = P(\frac{mx_{2} + nx_{1}}{m + n}, \frac{my_{2} + ny_{1}}{m + n} )\]

 

\[P(x, y) = P(\frac{(1)x_{2} + (1)x_{1}}{1 + 1}, \frac{(1)y_ {2} + (1)y_{1}}{1 + 1})\]

 

\[P(x, y) = P(\frac{x_{2} + x_{1}}{2 }, \frac{y_{2} + y_{1}}{2})\]

 

∴ \[x = (\frac{x_{2} + x_{1}}{2}), y = (\frac{y_{2} + y_{1}}{2})\]

 

Решенные примеры

Q1. Найдите координаты точки M, которая делит отрезок PQ в отношении 2:3. Отрезок PQ соединяет точки P (2,1) и Q (-3,6). Лежит ли точка М на прямой 5у — х = 15?

Сол. Дано,

P (2, 1), Q (-3, 6),

Пусть координата x точки M равна x, а координата y равна y: M (x, y)

m : n = 2 : 3

По формуле сечения,

\[M(x, y) = M(\frac{mx_{2} + nx_{1}}{m + n}, \frac{my_{2} + ny_{1} }{m + n})\]

\[M(x, y) = M(\frac{2(-3) + 3(2)}{2 + 3}, \frac{2(6) + 3(1)}{2 + 3})\]

\[M(x, y) = M(\frac{-6+6}{5}, \frac{15}{5})\]

M(x, y) = M(0, 3)

x = 0, y = 3

Следовательно, точка M равна (0,3).

Подставляя значения x и y в 5y — x = 15,

5(3) — (0) — 15 = 0

Следовательно, точка M лежит на прямой 5y — x = 15.

Q2. Найдите середину отрезка AB, соединяющего точки A (4,8) и (2,4).

Сол. Дано,

A (4, 8), B (2, 4)

Пусть координата x средней точки будет x, а координата y y: P (x, y).

м : n = 1 : 1

Используя формулу сечения и средней точки,

\[P(x, y) = P(\frac{mx_{2} + nx_{1}}{m + n }, \frac{my_{2} + ny_{1}}{m + n})\]

\[P(x, y) = P(\frac{(1)x_{2} + (1) x_{1}}{1 + 1}, \frac{(1)y_{2} + (1)y_{1}}{1 + 1})\]

\[P(x, y) = P (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}, \frac{y_{2} + y_{1}}{2})\]

\[P(x, y) = P( \frac{4 + 2}{2}, \frac{8 + 4}{2})\]

P(x, y) = P(3, 6)

∴ x = 3, y = 6

Следовательно, середина AB равна P (3,6).

Итак, теперь мы узнали о формуле сечения и ее применении на решенных примерах. Чтобы узнать больше о формулах сечения, вы должны решить больше задач, связанных с ними.

Определение, формулы и вывод с доказательством!

В геометрии часто путают отрезок и линию. Сегмент имеет четко определенное начало и определенную конечную точку, причем каждый конец очерчен точкой. Принимая во внимание, что линии не имеют четкого начала или конца. Примеры сегментов включают длину стола, меру прямой дороги и т. д.

Мы можем распознать прямые линии по краям строения, дороги, по которым мы путешествуем. Сегмент является частью линии, однако линия не является компонентом сегмента. Прокручивая статью «Формула раздела», вы узнаете о выводе формулы раздела, формуле внутреннего раздела, формуле внешнего раздела и многом другом.

Формула сечения применяется для определения координат точки, которая пересекает отрезок линии снаружи или внутри в некоторых соотношениях.Эта формула очень эффективна как в математике, так и в физике.

Изучите концепции отношений и функций здесь.

Формула сечения в координатной геометрии

Точка на отрезке, которая делит отрезок на две части, которые могут быть равными или не равными. Соотношение, в котором точки пересекают предоставленный отрезок, может определить, известны ли нам координаты этой точки.

Кроме того, можно найти точку деления, если нам известно отношение, в котором отрезок соединяет две точки.Эти две точки можно выполнить с помощью формулы раздела координатной геометрии. Формула сечения в координатной геометрии принципиально подразделяется на две части:

  • Формула внутреннего сечения
  • Формула внешнего сечения

Давайте обсудим каждую из них с соответствующими формулами.

Если вы освоили Формулу раздела, вы можете узнать о последовательностях и сериях здесь.

Формула сечения: Внутреннее

Формула сечения применяется для определения координат точки, которая делит отрезок, соединяющий две точки, на два отрезка так, что отношение их длин равно m:n.Формула внутреннего деления используется, когда точка делит отрезок внутренне, то есть точка лежит между двумя крайними точками отрезка.

Рассмотрим отрезок AB, который внутри разделен точкой P(x,y) в таком соотношении, что AP:PB=m:n, как показано на рисунке выше. Тогда координаты точки P по заданному соотношению m:n и координаты точек \(A\(x_1,y_1),\B(x_2,\y_2)\) равны:\(P(x,y )=\left(\frac{mx_2+nx_1}{m+n},\frac{my_2+ny_1}{m+n}\right)\)

Здесь:

  • x и y координаты точки П.
  • \(\left(x_1,y_1\right)\) — координаты точки A.
  • \(\left(x_2,y_2\right)\) — координаты точки B.
  • m и n значения отношений, в которых P делит линию AB внутри.

Также читайте о системах счисления здесь.

Формула сечения: внешне

Формула внешнего сечения применяется, когда отрезок линии делится снаружи точкой в ​​заданном соотношении. Эта формула сечения внешнего деления используется для определения координат точки на отрезке, соединяющем две точки и лежащего за пределами двух точек, в заданном отношении.

Рассмотрим отрезок AB, который разделен внешней точкой P(x,y) в таком отношении, что AP:PB=m:n, как показано на рисунке. Тогда координаты точки P: через заданное отношение m:n и координаты точек \(A (x_1,y_1),\ B(x_2, y_2)\) равны:

\(P(x, y)=\left(\frac{mx_2-nx_1}{mn},\frac{my_2-ny_1}{mn}\right)\)

Здесь

  • x и y — координаты точки P.
  • \(\left(x_1,y_1\right)\) — координаты точки A.
  • \(\left(x_2,y_2\right)\) — координаты точки B.
  • m и n — значения отношения, в котором P делит прямую AB снаружи.

Прочтите эту статью о статистике.

Вывод формулы сечения

У нас есть формула сечения для линии, разделенной как внутри, так и снаружи в отношении m:n. Давайте теперь поймем, как эти формулы могут быть получены.

В разделе математики формула изучается для определения центра масс, центров вложений, эксцентров треугольника, также в физике применяется для получения центра масс, точек равновесия и т.д.Кроме того, формула сечения геометрии координат широко используется для нахождения середины отрезка прямой.

Рассмотрим точку\( P(x_1,y_1)\) и точку \(Q(x_2,y_2)\) две точки на плоскости xy.

  • Где M(x,y) — точка, которая делит отрезок PQ внутри в отношении m:n.
  • Где: PA, MN и QR нарисованы перпендикулярно оси x, а PS и MB начерчены параллельно оси x.
  • Из рисунка можно сказать, что ∠MPS=∠QMB (соответствующие углы)

\(∠MSP=∠QBM=90°\)

По критерию подобия AAA.

\(Δ PMS ~ Δ MQB\)

\(⇒\frac{PM}{MQ}=\frac{MS}{QB}=\frac{PS}{MB}=\frac{m}{n }\)—(уравнение 1)

Из рисунка видно, что:

  • \(PS=x-x_1\)
  • \(MB=x_2-x\)
  • Аналогично, \(MS= y-y_1\)
  • И \(QB=y_2-y\)

Подставив их в уравнение номер 1.

\(\frac{m}{n}=\frac{x−x_1}{x_2− x}=\frac{y−y_1}{y_2−y}\)

\(\Стрелка вправо\frac{m}{n}=\frac{x−x_1}{x_2−x}\Стрелка вправо x=\left (\frac{mx_2+nx_1}{m+n}\right)\)

\(\Rightarrow\frac{m}{n}=\frac{y−y_1}{y_2−y}\Rightarrow y=\ left(\frac{my_2+ny_1}{m+n}\right)\)

Это называется формулой сечения.

Если вы освоили Формулу раздела, вы можете узнать о наборах здесь.

Формула сечения: Середина

Отрезок линии можно разделить на две части, поместив точку на линии между двумя крайними точками сегмента или где-то вне его.

Но если соотношение между двумя частями 1:1. То есть середина точно делит отрезок на две равные половины. Используя формулу сечения:

\(M(x,y)=\left(\frac{mx_2+nx_1}{m+n},\frac{my_2+ny_1}{m+n}\right)\)

Подставляя m=1, n=1, получаем

\(M(x,y)=\left(\frac{x_2+x_1}{2},\frac{y_2+y_1}{2}\right )\)

Узнайте больше о комплексных числах здесь.

Формула сечения: ключевые выводы

В координатной геометрии формулы сечения могут применяться для определения взаимосвязи между координатами точки, которая делит отрезок прямой на две части, и соотношением, в котором отрезок делится.

Если нам предоставлены координаты точки, которая делит отрезок, то мы можем применить формулу сечения, чтобы определить соотношение, в котором отрезок делится на данную точку.

Формула сечения для внутреннего деления:

\(P(x,y)=\left(\frac{mx_2+nx_1}{m+n},\frac{my_2+ny_1}{m+n}\right )\)

Формула сечения для внешнего деления:

\(P(x,y)=\left(\frac{mx_2-nx_1}{mn},\frac{my_2-ny_1}{mn}\right) \)

Формула средней точки:

\(M(x,y)=\left(\frac{x_2+x_1}{2},\frac{y_2+y_1}{2}\right)\)

Если точка M делит отрезок, соединяющий точки \(P(x_1,y_1) и Q(x_2,y_2)\) внутри в отношении K:1, то координаты M будут:

Формула сечения для внутреннего деления равно:

\(P(x,y)=\left(\frac{mx_2+nx_1}{m+n},\frac{my_2+ny_1}{m+n}\right)\)

Это становится :

\(M(x,y)=\left(\frac{Kx_2+x_1}{K+1},\frac{Ky_2+y_1}{K+1}\right)\)

Формула сечения для внешнее деление:

\(P(x,y)=\left(\frac{mx_2-nx_1}{mn},\frac{my_2-ny_1}{mn}\right)\)

Получается:

\(M(x,y)=\left(\frac{Kx_2-x_1}{K-1},\frac {Ky_2-y_1}{K-1}\right)\)

Мы надеемся, что приведенная выше статья о формуле раздела будет полезна для вашего понимания и подготовки к экзамену. Оставайтесь с нами в приложении Testbook, чтобы получать больше обновлений по связанным с математикой темам и другим подобным предметам. Кроме того, обратитесь к серии тестов, доступных для проверки ваших знаний по нескольким экзаменам.

Часто задаваемые вопросы о формуле раздела

В.1 Что такое m1 и m2 в формуле раздела?

Ans.1 Предположим, что P, Q — это две точки на плоскости xy, а R — точка на отрезке, соединяющем точки P и Q, такие, что PR: RQ = m1: m2, тогда мы предполагаем, что точка R делит отрезок PQ внутри в отношении m1 : m2.

Q.2 Какие существуют типы линий?

Ответ 2 Различают следующие типы линий: горизонтальная линия, вертикальная линия, параллельная линия и перпендикулярная линия. Они характеризуются своей ориентацией и углами, образующимися между ними.

Q.3 Что такое формула раздела Класс 10?

Ответ 3 Формула сечения помогает вычислить координаты точки, делящей заданный отрезок на два отрезка так, что их меры находятся в некотором заданном отношении. Линия может быть разделена как внутри, так и снаружи.

Q.4 Какие применения формулы раздела?

Анс.4 Формула сечения применяется в различных областях математики и физики. В математике формула сечения используется для нахождения центра тяжести, центров вписанных/внешних центров треугольника, а в физике — для получения точек равновесия, центра масс и т. д. Но формула сечения широко используется для определения средней точки сегмента линии.

В.5 Как можно вывести формулу раздела?

Ответ 5 Формула сечения может быть определена путем формирования двух прямоугольных треугольников и использования подобия ААА. Определим отношение длин сторон треугольника через предоставленные отношения, а затем, подставив значения, найдем координаты точки, которая делит отрезок в заданном соотношении.

Создайте бесплатную учетную запись, чтобы продолжить чтение

  • Получайте мгновенные оповещения о вакансиях бесплатно!

  • Получите Daily GK и текущие события Capsule и PDF-файлы

  • Получите более 100 бесплатных пробных тестов и викторин

Подпишись бесплатно
У вас уже есть аккаунт? Войти

Следующий пост

Доказательство формулы раздела внутреннего деления

Формула раздела внутреннего деления является одним из видов формулы раздела. Он используется для нахождения координат точки, которая внутренне делит линию, соединяющую две точки в определенном отношении.

$P(x, y)$ $\,=\,$ $\bigg(\dfrac{mx_2+nx_1}{m+n}, \dfrac{my_2+ny_1}{m+n}\bigg)$

Это называется формулой сечения внутреннего деления в алгебраической форме, и ее можно вывести в математической форме с помощью геометрии. Теперь давайте узнаем, как вывести формулу сечения внутреннего деления.

Геометрические шаги для доказательства формулы сечения

Представим отрезок прямой в двумерном пространстве.Отрезок образован соединением двух точек $L$ и $M$. Точка $P$ является точкой на отрезке.

  1. $x_1$ и $y_1$ — координаты точки $A$. Итак, точка $A$ записывается в точечной форме как $A (x_1, y_1)$ в математике.
  2. $x_2$ и $y_2$ — двумерные координаты точки $B$. Математически точка $B$ записывается в точечной форме как $B (x_2, y_2)$.
  3. $x$ и $y$ — две декартовы координаты точки $P$. Следовательно, точка $P$ записывается в точечной форме как $P(x, y)$ в математике.
  4. Предположим, что точка $P$ делит отрезок внутри в отношении $m : n$

$\,\,\,\следовательно\,\,\,\,\,\,$ $\dfrac{AP}{PB} \,=\, \dfrac{m}{n}$

Теперь давайте построим два треугольника, чтобы перенести геометрическую процедуру на следующий уровень.

  1. Проведите горизонтальную линию из точки $A$, а также проведите горизонтальную линию из точки $P$.
  2. Проведите вертикальную линию из точки $P$ так, чтобы она пересекала горизонтальную линию в точке $C$ перпендикулярно.Таким образом, образовался прямоугольный треугольник $PAC$.
  3. Аналогичным образом проведите вертикальную линию из точки $B$ до пересечения с горизонтальной линией в точке $D$ перпендикулярно. Таким образом, образовался прямоугольный треугольник $BPD$.

Таким образом, мы построили два треугольника, которые геометрически записываются как $\Delta PAC$ и $\Delta BPD$.

Нахождение координаты x точки

Углы обоих треугольников геометрически равны. Это означает $\угол PAC\,=\, \угол BPD$.Следовательно, два прямоугольных треугольника являются подобными треугольниками. В математике это записывается как $\Delta PAC$ $\sim$ $\Delta BPD$.

По свойству подобия треугольников.

$\dfrac{AP}{AC} \,=\, \dfrac{PB}{PD}$

$\implies$ $\dfrac{AP}{PB} \,=\, \dfrac{AC}{PD}$

В данном случае

  1. $AC$ $\,=\,$ $OC-OA$ $\,=\,$ $x-x_1$
  2. $PD$ $\,=\,$ $OD-OP$ $\,=\,$ $x_2-x$

$\implies$ $\dfrac{m}{n} \,=\, \dfrac{x-x_1}{x_2-x}$

$\implies$ $m \times (x_2-x) \,=\, n \times (x-x_1)$

Множитель может быть распределен по разности членов с помощью распределительного свойства умножения над вычитанием.

$\implies$ $m \times x_2$ $-$ $m \times x$ $\,=\,$ $n \times x$ $-$ $n \times x_1$

В этом уравнении есть два одинаковых алгебраических члена. Итак, напишите одинаковые алгебраические члены в одной части уравнения и оставьте разные члены в другой части уравнения.

$\implies$ $m \times x_2$ $+$ $n \times x_1$ $\,=\,$ $m \times x$ $+$ $n \times x$

$\implies$ $m \times x$ $+$ $n \times x$ $\,=\,$ $m \times x_2$ $+$ $n \times x_1$

В левой части уравнения $x$ является общим множителем в обоих членах выражения.Таким образом, для дальнейшего упрощения этого уравнения можно убрать общее из членов.

$\имплицит$ $x \times (m+n)$ $\,=\,$ $mx_2+nx_1$

Наконец, переместите множитель в правую часть уравнения для нахождения значения $x$.

$\,\,\,\следовательно\,\,\,\,\,\,$ $x$ $\,=\,$ $\dfrac{mx_2+nx_1}{m+n}$

Нахождение координаты Y точки

По свойству подобия $\Delta PAC$ и $\Delta BPD$.

$\dfrac{AP}{PC} \,=\, \dfrac{PB}{BD}$

$\implies$ $\dfrac{AP}{PB} \,=\, \dfrac{PC}{BD}$

В данном случае

  1. $PC$ $\,=\,$ $OP-OC$ $\,=\,$ $y-y_1$
  2. $BD$ $\,=\,$ $OB-OD$ $\,=\,$ $y_2-y$

$\implies$ $\dfrac{m}{n} \,=\, \dfrac{y-y_1}{y_2-y}$

Это уравнение можно упростить методом перекрестного умножения.

$\implies$ $m \times (y_2-y) \,=\, n \times (y-y_1)$

В обеих частях уравнения множитель умножает разницу членов. Каждый фактор может быть распределен при вычитании с помощью распределительного свойства умножения при вычитании.

$\implies$ $m \times y_2$ $-$ $m \times y$ $\,=\,$ $n \times y$ $-$ $n \times y_1$

В этом алгебраическом уравнении есть два одинаковых члена. Итак, переместите одинаковые алгебраические члены в одну сторону уравнения, а непохожие — в другую часть уравнения.

$\implies$ $m \times y_2$ $+$ $n \times y_1$ $\,=\,$ $m \times y$ $+$ $n \times y$

$\implies$ $m \times y$ $+$ $n \times y$ $\,=\,$ $m \times y_2$ $+$ $n \times y_1$

В обоих членах левой части уравнения есть общий множитель. Можно вынести общее из обоих подобных терминов.

$\имплицит$ $y \times (m+n)$ $\,=\,$ $my_2+ny_1$

Для вычисления значения координаты $y$ переместите множитель в правую часть уравнения.

$\,\,\,\следовательно\,\,\,\,\,\,$ $y$ $\,=\,$ $\dfrac{my_2+ny_1}{m+n}$

Выразите координаты в виде точек

Мы приняли, что $x$ и $y$ — две координаты точки $P$. Координата $x$ точки $P$ вычисляется геометрически в математической форме на втором шаге.

$x$ $\,=\,$ $\dfrac{mx_2+nx_1}{m+n}$

Аналогично, координата $y$ точки $P$ выводится в алгебраической форме на третьем шаге геометрически.

$y$ $\,=\,$ $\dfrac{my_2+ny_1}{m+n}$

В математике точка P с ее координатами записывается в точечной форме как $P(x,y)$.

$\,\,\,\следовательно\,\,\,\,\,\,$ $P(x, y)$ $\,=\,$ $\bigg(\dfrac{mx_2+nx_1}{ m+n}, \dfrac{my_2+ny_1}{m+n}\bigg)$

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.

*

*

*